સંકલન int_{1}^{e} left( left( frac{x}{e} righ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$. સંકલનને અલગ કરતા: $I

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{2} - e - \frac{1}{2e^2}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$. સંકલનને અલગ કરતા: $I = \int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx - \int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx$. પ્રથમ સંકલન માટે,$u = \left( \frac{x}{e} \right)^{2x}$ લો. તેથી $\log_{e} u = 2x (\log_{e} x - 1)$. વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} du = 2 \log_{e} x \, dx$. જ્યારે $x=1, u = e^{-2}$ અને જ્યારે $x=e, u = 1$. તેથી,$\int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx = \frac{1}{2} \int_{e^{-2}}^{1} du = \frac{1}{2} (1 - e^{-2})$. બીજા સંકલન માટે,$v = \left( \frac{e}{x} \right)^{x}$ લો. તેથી $\log_{e} v = x (1 - \log_{e} x)$. વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} dv = -\log_{e} x \, dx$. જ્યારે $x=1, v = e$ અને જ્યારે $x=e, v = 1$. તેથી,$\int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx = -\int_{e}^{1} dv = e - 1$. કુલ કિંમત: $I = \frac{1}{2} (1 - e^{-2}) - (e - 1) = \frac{3}{2} - e - \frac{1}{2e^2}$.

સંકલન $\int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\frac{d}{dx}\{f(x)\} = g(x)$ હોય,તો $\int_a^b f(x) g(x) dx$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $n \in N$ માટે $a_{n} = \int_{-1}^{n} \left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} + \ldots + \frac{x^{n-1}}{n}\right) dx$ છે. તો ગણ $\{n \in N : a_{n} \in (2, 30)\}$ ના તમામ ઘટકોનો સરવાળો $...........$ છે.

$\int_0^{\pi / 4} \sqrt{1-\sin 2 x} \,d x =$

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\pi \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module