अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + frac{y ln y}{x} = | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{y \ln y}{x} = \frac{y(\ln y)^2}{x^2}$.दोनों पक्षों को $y(\ln y)^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{y(\l

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$\frac{1}{\ln y} = \frac{1}{2x} + Cx$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + \frac{y \ln y}{x} = \frac{y(\ln y)^2}{x^2}$.दोनों पक्षों को $y(\ln y)^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{y(\ln y)^2} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \ln y} = \frac{1}{x^2}$.माना $t = \frac{1}{\ln y}$. तब $\frac{dt}{dx} = -\frac{1}{y(\ln y)^2} \frac{dy}{dx}$.इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $-\frac{dt}{dx} + \frac{t}{x} = \frac{1}{x^2}$,जो सरल होकर $\frac{dt}{dx} - \frac{t}{x} = -\frac{1}{x^2}$ हो जाता है।यह $\frac{dt}{dx} + P(x)t = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{x}$ और $Q(x) = -\frac{1}{x^2}$.समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{x} dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x}$.हल: $t \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$.$t \cdot \frac{1}{x} = \int (-\frac{1}{x^2}) \cdot \frac{1}{x} dx + C = -\int x^{-3} dx + C = -(\frac{x^{-2}}{-2}) + C = \frac{1}{2x^2} + C$.$x$ से गुणा करने पर,$t = \frac{1}{2x} + Cx$ प्राप्त होता है।$t = \frac{1}{\ln y}$ रखने पर,$\frac{1}{\ln y} = \frac{1}{2x} + Cx$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + \frac{y \ln y}{x} = \frac{y(\ln y)^2}{x^2}$ का व्यापक हल (जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है) ज्ञात कीजिए:

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