વિધેય $f(x) = \begin{cases} |x - 3| & x \geqslant 1 \\ \frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + \frac{13}{4} & x < 1 \end{cases}$ એ :

ધારો કે $f: R \rightarrow (0, \infty)$ અને $g: R \rightarrow R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેયો છે જેથી $f^{\prime \prime}$ અને $g^{\prime \prime}$ એ $R$ પર સતત વિધેયો છે. ધારો કે $f^{\prime}(2) = g(2) = 0$,$f^{\prime \prime}(2) \neq 0$ અને $g^{\prime}(2) \neq 0$. જો $\lim_{x \rightarrow 2} \frac{f(x) g(x)}{f^{\prime}(x) g^{\prime}(x)} = 1$ હોય,તો:

ધારો કે $f : R \to R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જે $f''(3) + f'(2) = 0$ નું પાલન કરે છે. તો $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {\frac{{1 + f\left( {3 + x} \right) - f\left( 3 \right)}}{{1 + f\left( {2 - x} \right) - f\left( 2 \right)}}} \right)^{\frac{1}{x}}}$ ની કિંમત શોધો.

જો $y = \frac{1}{1 + x^{n-m} + x^{p-m}} + \frac{1}{1 + x^{m-n} + x^{p-n}} + \frac{1}{1 + x^{m-p} + x^{n-p}}$ હોય,તો $x = e^{m^{n^p}}$ આગળ $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$(i)$ $f(x)$ સતત છે અને તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી અને $f'(4) = 0$.
$(iii)$ $(-5, 12)$ એ $f(x)$ ના આલેખ પરનું એક બિંદુ છે.
$(iv)$ $f''(2)$ વ્યાખ્યાયિત નથી,પરંતુ બાકીના દરેક જગ્યાએ $f''(x)$ ઋણ છે.
$(v)$ $f'(x)$ ના ચિહ્નો નીચે મુજબ છે:
$f'(x)$ ચિહ્ન ચાર્ટ:
- $x < -5$ માટે,$f'(x) > 0$
- $-5 < x < 2$ માટે,$f'(x) < 0$
- $2 < x < 4$ માટે,$f'(x) > 0$
- $x > 4$ માટે,$f'(x) < 0$
$y = f(x)$ ના સંભવિત આલેખ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે:

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \int_{0}^{x} |1-t| dt, & x > 1 \\ x - \frac{1}{2}, & x \leq 1 \end{cases}$. તો: