જો $y = \frac{1}{1 + x^{n-m} + x^{p-m}} + \frac{1}{1 + x^{m-n} + x^{p-n}} + \frac{1}{1 + x^{m-p} + x^{n-p}}$ હોય,તો $x = e^{m^{n^p}}$ આગળ $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો વિધેય $f$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત હોય:
$\begin{cases} f(x) = x-1, & \text{જ્યારે } -\infty < x < 1 \\ f(x) = 0, & \text{જ્યારે } x=1 \\ f(x) = x^3-1, & \text{જ્યારે } 1 < x < \infty \end{cases}$
તો $x=1$ આગળ,$f$ એ:

ધારો કે $f(\theta)=3\left(\sin ^4\left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)+\sin ^4(3 \pi+\theta)\right)-2\left(1-\sin ^2 2 \theta\right)$ અને $S=\left\{\theta \in[0, \pi]: f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$. જો $4 \beta=\sum_{\theta \in S} \theta$ હોય,તો $f(\beta)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $R$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f(x) = \sin^{10} x (\cos^8 x + \cos^4 x + \cos^2 x + 1)$,જ્યાં $x \in R$. ધારો કે $S = \{\lambda \in R : \text{એવું બિંદુ } c \in (0, 2\pi) \text{ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી } f'(c) = \lambda f(c)\}$. તો,

ધારો કે $f(x) = (\sin(\tan^{-1} x) + \sin(\cot^{-1} x))^2 - 1$ જ્યાં $|x| > 1$. જો $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(f(x)))$ અને $y(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $y(-\sqrt{3})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: R \to R$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ $f(x)m^{2}-2f^{\prime}(x)m+f^{\prime\prime}(x)=0$ ને દરેક $x \in R$ માટે બે સમાન બીજ છે. જો $f(0)=1$,$f^{\prime}(0)=2$ અને $(\alpha, \beta)$ એ સૌથી મોટો અંતરાલ હોય જેમાં વિધેય $g(x) = f(\log_{e}x-x)$ વધતું વિધેય હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો: