फलन $F(x) = \int_0^x \log \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right) \,dt$ है

निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{2} x \sqrt{2-x} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi} x f(\sin x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha=\int_{\frac{1}{2}}^2 \frac{\tan ^{-1} x}{2 x^2-3 x+2} d x$ है,तो $\sqrt{7} \tan \left(\frac{2 \alpha \sqrt{7}}{\pi}\right)$ का मान $....$ है। (यहाँ,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन $\tan ^{-1} x$ का मान $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ में है।)

किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,समाकलन $\int_0^\pi e^{\cos^2 x} \cos^3(2n+1)x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^2 x^3(2-x)^4 \, dx = $