एक पतली लकड़ी की शीट से समबाहु त्रिभुज ABC का | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $L$ है। त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4}L^2$ है। एक पतले समान समबाहु त्रिभुज का उसके क

Vedclass · Accepted Answer

$I = \frac{15}{16}I_0$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए समबाहु त्रिभुज $ABC$ की भुजा की लंबाई $L$ है। त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4}L^2$ है। एक पतले समान समबाहु त्रिभुज का उसके केंद्रक से गुजरने वाली और उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{1}{6} M L^2$ होता है,जहाँ $M$ त्रिभुज का द्रव्यमान है। चूंकि शीट समान है,द्रव्यमान $M$ क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती है,इसलिए $M = \sigma A$,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व है। अतः,$I \propto A \cdot L^2 \propto L^2 \cdot L^2 = L^4$.मान लीजिए $I_0$ भुजा की लंबाई $L$ वाले मूल त्रिभुज $ABC$ का जड़त्व आघूर्ण है। अतः,$I_0 = k L^4$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए।छोटे त्रिभुज $DEF$ की भुजा की लंबाई $L/2$ है। इसका द्रव्यमान $m$ मूल त्रिभुज के द्रव्यमान $M$ का $1/4$ है क्योंकि इसका क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल का $1/4$ है। छोटे त्रिभुज $DEF$ का उसके अपने केंद्रक (जो $G$ भी है) के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{DEF} = k (L/2)^4 = k \frac{L^4}{16} = \frac{I_0}{16}$ है।शेष आकृति का जड़त्व आघूर्ण मूल त्रिभुज और हटाए गए त्रिभुज के जड़त्व आघूर्ण के बीच का अंतर है: $I = I_0 - I_{DEF} = I_0 - \frac{I_0}{16} = \frac{15}{16}I_0$.

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