log_e(1 + 3x + 2x^2) के विस्तार में x^n का गु | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $\log_e(1 + 3x + 2x^2) = \log_e((1 + x)(1 + 2x)) = \log_e(1 + x) + \log_e(1 + 2x)$ है।$\log_e(1 + y) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \f

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$\frac{(-1)^{n+1}}{n} [2^n + 1]$

Vedclass · Answer

(B) हमारे पास $\log_e(1 + 3x + 2x^2) = \log_e((1 + x)(1 + 2x)) = \log_e(1 + x) + \log_e(1 + 2x)$ है।$\log_e(1 + y) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{y^n}{n}$ के विस्तार का उपयोग करते हुए:$\log_e(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$$\log_e(1 + 2x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(2x)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{2^n x^n}{n}$इन दोनों को जोड़ने पर,$x^n$ का गुणांक $(-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n} + \frac{2^n}{n} \right) = (-1)^{n-1} \frac{2^n + 1}{n}$ प्राप्त होता है।चूंकि $(-1)^{n-1} = (-1)^{n+1}$,इसलिए गुणांक $\frac{(-1)^{n+1}(2^n + 1)}{n}$ है।

$\log_e(1 + 3x + 2x^2)$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक क्या है?

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