ઉપવલય $\frac{x^2}{27} + y^2 = 1$ પર બિંદુ $(3\sqrt{3} \cos \theta, \sin \theta)$ (જ્યાં $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$) આગળ સ્પર્શક દોરવામાં આવે છે. તો $\theta$ ની કઈ કિંમત માટે આ સ્પર્શક દ્વારા અક્ષો પર બનતા અંતઃખંડોનો સરવાળો ન્યૂનતમ થાય?

જો $\frac{\sqrt{3}}{a}x + \frac{1}{b}y = 2$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ને સ્પર્શતું હોય,તો તેનો ઉત્કેન્દ્રિય કોણ $\theta$ કેટલો થાય? ................ $^o$

ઉત્કેન્દ્રિયતા $e$ ધરાવતા ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ પરના ચલ બિંદુ $P$ આગળનો અભિલંબ ઉપવલયના અક્ષોને $Q$ અને $R$ માં મળે છે. તો $QR$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ એક શંકુ છે જેની ઉત્કેન્દ્રિયતા $e'$ છે,તો:

જો $P$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (જ્યાં $a > b$) પર પ્રથમ ચરણમાં આવેલું હોય,અને $P$ આગળ દોરેલ સ્પર્શક અને અભિલંબ મુખ્ય અક્ષને અનુક્રમે $T$ અને $N$ બિંદુઓમાં મળે,તો $\frac{(\left| F_2N \right| + \left| F_1N \right|)(\left| F_2T \right| - \left| F_1T \right|)}{(\left| F_2N \right| - \left| F_1N \right|)(\left| F_2T \right| + \left| F_1T \right|)}$ ની કિંમત કેટલી થાય? (જ્યાં $F_1$ અને $F_2$ એ નાભિઓ $(ae, 0)$ અને $(-ae, 0)$ છે).

$(4 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6})$ માંથી પસાર થતા ઉપવલયના નાભિઓ $(-4, 0)$ અને $(4, 0)$ છે. તો,તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?

જો ઉપવલયના કેન્દ્ર $O(0,0)$ થી નાભિઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો $8 \sqrt{6}$ એકમ હોય અને જે લઘુત્તમ લંબચોરસમાં આ ઉપવલય અંતર્ગત છે તેનું ક્ષેત્રફળ $80$ ચોરસ એકમ હોય,તો આવા ઉપવલયનું સમીકરણ શું થાય?