ग्रहीय गति के लिए केप्लर के दूसरे नियम (क्षेत्रफल का नियम) को लिखिए और सिद्ध कीजिए।

(N/A) केप्लर का दूसरा नियम कहता है: "किसी भी ग्रह को सूर्य से जोड़ने वाली रेखा समान समयांतराल में समान क्षेत्रफल तय करती है।"
उपपत्ति:
मान लीजिए कि एक ग्रह $P$ सूर्य $S$ के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में गति कर रहा है। सूर्य के सापेक्ष ग्रह का स्थिति सदिश $\vec{r}$ है। एक सूक्ष्म समयांतराल $\Delta t$ में, ग्रह $P$ से $P^{\prime}$ तक गति करता है, जो विस्थापन $\Delta \vec{r} = \vec{v} \Delta t$ को दर्शाता है।
समय $\Delta t$ में स्थिति सदिश द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $\Delta A$, त्रिभुज $SPP^{\prime}$ के क्षेत्रफल के बराबर है:
$\Delta A = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \Delta \vec{r}| = \frac{1}{2} |\vec{r} \times (\vec{v} \Delta t)| = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \vec{v}| \Delta t$
$\Delta t$ से भाग देने पर, हमें क्षेत्रीय वेग प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \vec{v}|$
चूंकि सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है, यह सूर्य और ग्रह को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है। अतः, बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ होता है।
चूंकि बल आघूर्ण शून्य है, कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v}) = m(\vec{r} \times \vec{v})$ संरक्षित रहता है।
क्षेत्रीय वेग के समीकरण में $\vec{r} \times \vec{v} = \frac{\vec{L}}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} |\frac{\vec{L}}{m}| = \frac{L}{2m}$
यहाँ $L$ और $m$ नियतांक हैं, इसलिए $\frac{dA}{dt}$ भी नियत रहता है। यह सिद्ध करता है कि ग्रह समान समयांतराल में समान क्षेत्रफल तय करता है।