दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{8} = 1$ और परवलय $y^2 = 8x$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल क्या है?

यदि दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ एक ऐसे अतिपरवलय के साथ समनाभी (confocal) है जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2$ है,तो दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु किस वृत्त पर स्थित हैं?

मान लीजिए $\alpha, \beta$ द्विघात समीकरण $x^2 + px + p^3 = 0$ $(p \neq 0)$ के मूल हैं। यदि $(\alpha, \beta)$ परवलय $y^2 = x$ पर एक बिंदु है,तो द्विघात समीकरण के मूल हैं:

दो अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं:

मान लीजिए $F_1(-1, 0)$ और $F_2(1, 0)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ हैं। मान लीजिए कि एक परवलय जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है और नाभि $F_2$ पर है,दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश में बिंदु $N$ पर काटता है।
$(1)$ त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेंद्र है
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right)$
$(2)$ यदि $M$ और $N$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाएँ $R$ पर मिलती हैं और $M$ पर परवलय का अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है,तो त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात है
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $5: 8$ $(D)$ $2: 3$

$|z - (4 + 3i)| = 2$ और $|z| + |z - 4| = 6$,$z \in \mathbb{C}$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या क्या है?