स्थायी,असंपीड्य और श्यानता-रहित (आदर्श) द्रव प्रवाह के लिए बर्नौली का समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) बर्नौली का सिद्धांत बहते हुए द्रव के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।
मान लीजिए कि एक द्रव बदलते अनुप्रस्थ काट और ऊंचाई वाले पाइप से बह रहा है।
मान लीजिए कि इनलेट पर दबाव,क्षेत्रफल,वेग और ऊंचाई $P_1, A_1, v_1, h_1$ हैं और आउटलेट पर संबंधित मान $P_2, A_2, v_2, h_2$ हैं।
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$\Delta t$ समय में एक सिरे से प्रवेश करने वाले द्रव का आयतन दूसरे सिरे से बाहर निकलने वाले आयतन के बराबर होता है: $\Delta V = A_1 v_1 \Delta t = A_2 v_2 \Delta t$.
इनलेट पर दबाव द्वारा किया गया कार्य: $W_1 = F_1 \Delta x_1 = P_1 A_1 (v_1 \Delta t) = P_1 \Delta V$.
आउटलेट पर दबाव द्वारा किया गया कार्य: $W_2 = -F_2 \Delta x_2 = -P_2 A_2 (v_2 \Delta t) = -P_2 \Delta V$ (ऋणात्मक क्योंकि यह प्रवाह का विरोध करता है)।
दबाव द्वारा किया गया कुल कार्य: $W = (P_1 - P_2) \Delta V$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta K = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} (\rho \Delta V) (v_2^2 - v_1^2)$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta U = mg(h_2 - h_1) = (\rho \Delta V) g (h_2 - h_1)$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = \Delta K + \Delta U$.
$(P_1 - P_2) \Delta V = \frac{1}{2} \rho \Delta V (v_2^2 - v_1^2) + \rho \Delta V g (h_2 - h_1)$.
$\Delta V$ से विभाजित करने और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$.
अतः,$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{नियतांक}$।