સ્થાયી,અદબનીય અને શ્યાનતા રહિત (આદર્શ) પ્રવાહીના પ્રવાહ માટે બર્નુલીનું સમીકરણ મેળવો.

(N/A) બર્નુલીનો સિદ્ધાંત વહેતા પ્રવાહી માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.
ધારો કે એક પ્રવાહી બદલાતા આડછેદ અને ઊંચાઈ ધરાવતી પાઇપમાંથી વહી રહ્યું છે.
ધારો કે ઇનલેટ પર દબાણ,ક્ષેત્રફળ,વેગ અને ઊંચાઈ $P_1, A_1, v_1, h_1$ છે અને આઉટલેટ પર અનુરૂપ મૂલ્યો $P_2, A_2, v_2, h_2$ છે.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$\Delta t$ સમયમાં એક છેડેથી પ્રવેશતા પ્રવાહીનું કદ બીજા છેડેથી બહાર નીકળતા પ્રવાહીના કદ જેટલું હોય છે: $\Delta V = A_1 v_1 \Delta t = A_2 v_2 \Delta t$.
ઇનલેટ પર દબાણ દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W_1 = F_1 \Delta x_1 = P_1 A_1 (v_1 \Delta t) = P_1 \Delta V$.
આઉટલેટ પર દબાણ દ્વારા થયેલું કાર્ય: $W_2 = -F_2 \Delta x_2 = -P_2 A_2 (v_2 \Delta t) = -P_2 \Delta V$ (ઋણ કારણ કે તે પ્રવાહનો વિરોધ કરે છે).
દબાણ દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય: $W = (P_1 - P_2) \Delta V$.
ગતિ ઉર્જામાં ફેરફાર: $\Delta K = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} (\rho \Delta V) (v_2^2 - v_1^2)$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર: $\Delta U = mg(h_2 - h_1) = (\rho \Delta V) g (h_2 - h_1)$.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = \Delta K + \Delta U$.
$(P_1 - P_2) \Delta V = \frac{1}{2} \rho \Delta V (v_2^2 - v_1^2) + \rho \Delta V g (h_2 - h_1)$.
$\Delta V$ વડે ભાગતા અને પદોને ગોઠવતા:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$.
આમ,$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{અચળ}$.