ધારો કે કોઈ બિંદુ P(x, y) પર વક્રની સ્પર્શકની | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2 + y}{x} = y^2 + \frac{y}{x}$ છે.પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = y^2$ મળે.$y^2$ વડે ભાગતા,$y^{-

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{18}{19}$

Vedclass · Answer

(C) વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{xy^2 + y}{x} = y^2 + \frac{y}{x}$ છે.પદોને ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = y^2$ મળે.$y^2$ વડે ભાગતા,$y^{-2} \frac{dy}{dx} - \frac{1}{x} y^{-1} = 1$ મળે.ધારો કે $v = y^{-1}$,તો $\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}$,એટલે કે $y^{-2} \frac{dy}{dx} = -\frac{dv}{dx}$.આને સમીકરણમાં મૂકતા,$-\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = 1$,અથવા $\frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = -1$ મળે.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x$ છે.ઉકેલ $v \cdot x = \int (-1) \cdot x dx + C = -\frac{x^2}{2} + C$ છે.$v = \frac{1}{y}$ હોવાથી,$\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + C$ મળે.વક્ર રેખા $x + 2y = 4$ ને $x = -2$ પર છેદે છે,તેથી $y$ શોધવા માટે $x = -2$ મૂકતા: $-2 + 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.વક્ર $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{-2}{3} = -\frac{(-2)^2}{2} + C \Rightarrow -\frac{2}{3} = -2 + C \Rightarrow C = \frac{4}{3}$.આમ,$\frac{x}{y} = -\frac{x^2}{2} + \frac{4}{3}$ છે.બિંદુ $(3, y)$ માટે,$\frac{3}{y} = -\frac{3^2}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{9}{2} + \frac{4}{3} = -\frac{19}{6}$ મળે.તેથી,$y = -\frac{18}{19}$.

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0, y > 1, x(e) = e$ નો ઉકેલ છે. તો $x(e^2)$ ની કિંમત શોધો:

વિકલ સમીકરણ $(x + 2y^3)\frac{dy}{dx} - y = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module