मान लीजिए a, b और c धनात्मक स्थिरांक हैं। यदि | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $I = \int_{0}^{1} (acx^{b+1} + a^3bx^{3b+5}) \, dx$. समाकल का मूल्यांकन करने पर: $I = \left[ \frac{acx^{b+2}}{b+2} + \frac{a^3bx^{3b+6}}

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$\sqrt{\frac{3c}{2}}$

Vedclass · Answer

(A) मान लीजिए $I = \int_{0}^{1} (acx^{b+1} + a^3bx^{3b+5}) \, dx$. समाकल का मूल्यांकन करने पर: $I = \left[ \frac{acx^{b+2}}{b+2} + \frac{a^3bx^{3b+6}}{3b+6} \right]_{0}^{1}$ $I = \frac{ac}{b+2} + \frac{a^3b}{3(b+2)}$ $I = \frac{1}{3(b+2)} [3ac + a^3b]$ $I = \frac{a^3}{3} \left( \frac{b + \frac{3c}{a^2}}{b+2} \right)$ यदि यह समाकल $b$ से स्वतंत्र है,तो यह व्यंजक एक स्थिरांक होना चाहिए। यह तब होता है जब अंश और हर में $b$ के गुणांकों का अनुपात अचर पदों के अनुपात के बराबर हो। अतः,$\frac{1}{1} = \frac{3c/a^2}{2}$ $2 = \frac{3c}{a^2}$ $a^2 = \frac{3c}{2}$ $a = \sqrt{\frac{3c}{2}}$.

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$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2} x \, dx =$

यदि $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n \theta \, d\theta$ है,तो $I_{n-1} + I_{n+1}$ का मान क्या होगा?

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