ધારો કે y(x) એ વિકલ સમીકરણ (1+e^x) y^{prime}+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+e^x) y^{\prime}+y e^x=1$ છે. $(1+e^x)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d y}{d x}+\frac{e^x}{1+e^x} y = \frac{1}{1+e^x}$ મળે છે.આ $\fra

Vedclass · Accepted Answer

$(A, C)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(1+e^x) y^{\prime}+y e^x=1$ છે. $(1+e^x)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{d y}{d x}+\frac{e^x}{1+e^x} y = \frac{1}{1+e^x}$ મળે છે.આ $\frac{d y}{d x}+P(x)y=Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{e^x}{1+e^x} dx} = e^{\ln(1+e^x)} = 1+e^x$ છે.ઉકેલ $y(1+e^x) = \int 1 dx = x+c$ છે.$y(0)=2$ આપેલ હોવાથી,$2(1+e^0) = 0+c \Rightarrow c=4$ મળે છે.આમ,$y(x) = \frac{x+4}{1+e^x}$.$(A)$ માટે,$y(-4) = \frac{-4+4}{1+e^{-4}} = 0$. તેથી $(A)$ સાચું છે.$(B)$ માટે,$y(-2) = \frac{-2+4}{1+e^{-2}} = \frac{2}{1+e^{-2}} 
eq 0$. તેથી $(B)$ ખોટું છે.$(C)$ અને $(D)$ માટે,$y^{\prime}(x) = 0$ લઈને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ.$y^{\prime}(x) = \frac{(1+e^x) - (x+4)e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{1-e^x(x+3)}{(1+e^x)^2}$.ધારો કે $g(x) = 1-e^x(x+3)$.$g(0) = 1-e^0(3) = -2$.$g(-1) = 1-e^{-1}(2) = 1-\frac{2}{e} > 0$.$g(x)$ સતત હોવાથી અને $g(-1) > 0$ તથા $g(0) તેથી,$y(x)$ ને $(-1, 0)$ માં ક્રાંતિક બિંદુ છે. આમ $(C)$ સાચું છે.સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(C)$ છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\sin^{2} y \frac{dx}{dy} + x = \cot y$ નો વિશિષ્ટ ઉકેલ શોધો,જ્યારે $x = 0$ અને $y = \frac{3\pi}{4}$ હોય.

સમીકરણ $(x + 2y^3)\frac{dy}{dx} - y = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module