ધારો કે f: R rightarrow R એ એક સતત વિધેય છે જ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સંકલન સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) dt$ છે. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $f'(x) = 1 +

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સંકલન સમીકરણ $f(x) = x + \int_0^x f(t) dt$ છે. લીબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $f'(x) = 1 + f(x)$. આ $f'(x) - f(x) = 1$ સ્વરૂપનું સુરેખ પ્રથમ ક્રમનું વિકલન સમીકરણ છે. સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે. બંને બાજુ $e^{-x}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે: $e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = e^{-x}$. $\frac{d}{dx} (f(x) e^{-x}) = e^{-x}$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા: $f(x) e^{-x} = \int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$. $f(x) = -1 + C e^x$. મૂળ સમીકરણ પરથી,$x=0$ માટે,$f(0) = 0 + \int_0^0 f(t) dt = 0$. $f(x) = -1 + C e^x$ માં $x=0$ મૂકતા: $0 = -1 + C(e^0) \Rightarrow C = 1$. આમ,$f(x) = e^x - 1$. ગણ $S = \{x \in R : f(x) = 0\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $e^x - 1 = 0$ ઉકેલીએ. $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$. માત્ર એક જ ઉકેલ મળે છે,$x=0$. તેથી,ગણ $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $1$ છે.

Similar Questions

જો $\cos x \frac{dy}{dx} - y \sin x = 6 x$,$0 < x < \frac{\pi}{2}$ હોય,તો વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 3(\tan^2 x + 1)y = \sec^2 x$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં પ્રારંભિક શરત $y(0) = \frac{1}{3} + e^3$ છે. તો $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 2y \tan 2x = e^x \sec 2x$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2)dx - (\tan^{-1} y - x)dy = 0$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો $y+\frac{d}{d x}(x y)=x(\sin x+\log x)$ હોય,તો $y$ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module