ધારો કે S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n અને T | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $S_n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$. પદાવલિ $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ છે.$S_{r-1} = \frac{q^r-1}{q-1}$ મૂકતા,આપણને મળે $\sum_{r=

Vedclass · Accepted Answer

$2^{100}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $S_n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$. પદાવલિ $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ છે.$S_{r-1} = \frac{q^r-1}{q-1}$ મૂકતા,આપણને મળે $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \frac{q^r-1}{q-1} = \frac{1}{q-1} \left( \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r - \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \right)$.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r = (1+q)^{101} - 1$ અને $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} = 2^{101} - 1$.આમ,પદાવલિ $\frac{1}{q-1} ((1+q)^{101} - 1 - (2^{101} - 1)) = \frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{q-1}$ બને છે.હવે,$T_{100} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q+1}{2} - 1} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q-1}{2}} = \frac{2((q+1)^{101} - 2^{101})}{2^{101}(q-1)} = \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{2^{100}(q-1)}$.$\frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{q-1} = \alpha \cdot \frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{2^{100}(q-1)}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 2^{100}$ મળે છે.

Similar Questions

જો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0, (abc \neq 0)$ ના બીજનો સરવાળો તેમના વ્યસ્તના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય,તો $a/c, b/a, c/b$ એ શેમાં છે?

જો ${A_1}, {A_2}$; ${G_1}, {G_2}$ અને ${H_1}, {H_2}$ એ બે સંખ્યાઓ વચ્ચેના $AMs$,$GMs$ અને $HMs$ હોય,તો $\frac{{G_1 G_2}}{{H_1 H_2}}$ ની કિંમત શોધો.

જો એક $A.P.$ ના $n$ પદોનો સરવાળો $3n^2 + 5n$ હોય અને $T_m = 164$ હોય,તો $m = $

જો સમીકરણ $x^3 - 9x^2 + \alpha x - 15 = 0$ ના બીજ $A.P.$ (સમાંતર શ્રેણી) માં હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module