मान लीजिए कि f(x),[0, 2] में लैग्रेंज के माध् | vedclass

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Question

(B) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,किसी भी $x \in (0, 2]$ के लिए,एक ऐसा $c \in (0, x)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ हो।चूंक

Vedclass · Accepted Answer

$|f(x)| \leqslant 1$

Vedclass · Answer

(B) लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,किसी भी $x \in (0, 2]$ के लिए,एक ऐसा $c \in (0, x)$ मौजूद है कि $f'(c) = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$ हो।चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए हमें $f'(c) = \frac{f(x)}{x}$ प्राप्त होता है।यह दिया गया है कि सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $|f'(x)| \leqslant \frac{1}{2}$,इसलिए $|f'(c)| \leqslant \frac{1}{2}$ होगा।इस मान को हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left| \frac{f(x)}{x} \right| = |f'(c)| \leqslant \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।इसका अर्थ है कि $|f(x)| \leqslant \frac{|x|}{2}$।चूंकि $x \in [0, 2]$,इसलिए $|x|$ का अधिकतम मान $2$ है,अतः $|f(x)| \leqslant \frac{2}{2} = 1$।इस प्रकार,$|f(x)| \leqslant 1$ होता है।

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