એક ક્લબની ચૂંટણીમાં,સ્પર્ધકોની સંખ્યા એક મતદાર જે મહત્તમ ઉમેદવારોને મત આપી શકે તેના કરતા એક વધારે છે. જો મતદાર જે રીતે મત આપી શકે તે કુલ રીતોની સંખ્યા $62$ હોય,તો ઉમેદવારોની સંખ્યા કેટલી છે?

સમૂહ $A$ માં $7$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓ છે,જ્યારે સમૂહ $B$ માં $6$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓ છે. જો $5$ વિદ્યાર્થીઓ સમૂહ $A$ માંથી અને બાકીના $3$ વિદ્યાર્થીઓ સમૂહ $B$ માંથી પસંદ કરવાના હોય,તો કુલ $4$ છોકરાઓ અને $4$ છોકરીઓને પિકનિક માટે આમંત્રિત કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી થાય?

$ENDEANOEL$ શબ્દના અક્ષરોના તમામ શક્ય ક્રમચયો ધ્યાનમાં લો. $Column I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને $Column II$ સાથે જોડો.

$Column I$	$Column II$
$(A)$ $ENDEA$ શબ્દ ધરાવતા ક્રમચયોની સંખ્યા	$(p)$ $5!$
$(B)$ જે ક્રમચયોમાં $E$ પ્રથમ અને છેલ્લા સ્થાને આવે છે તેની સંખ્યા	$(q)$ $2 \times 5!$
$(C)$ જે ક્રમચયોમાં છેલ્લા પાંચ સ્થાનોમાં $D, L, N$ માંથી કોઈ પણ અક્ષર આવતો નથી તેની સંખ્યા	$(r)$ $7 \times 5!$
$(D)$ જે ક્રમચયોમાં $A, E, O$ માત્ર એકી સ્થાનો પર આવે છે તેની સંખ્યા	$(s)$ $21 \times 5!$

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને તમામ અંકો ભિન્ન હોય તેવી ચાર અંકની સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવે છે. જો $p$ એ આ રીતે બનેલી કુલ સંખ્યાઓ હોય અને $q$ એ તેમાં $3400$ કરતા મોટી સંખ્યાઓ હોય,તો $p: q=$

$5$-અંકી એવી કેટલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે કે જેના અંકોનો ગુણાકાર $36$ થાય?

જો $^nC_r = ^nC_{r-1}$ અને $^nP_r = ^nP_{r+1}$ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.