यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{27} + \frac{y^2}{3} = 1$ पर किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा निर्देशांक अक्षों को $A$ और $B$ पर मिलती है,और $O$ मूल बिंदु है,तो त्रिभुज $OAB$ का न्यूनतम क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

$2b$ लघु अक्ष वाले दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता क्या होगी,यदि नाभियों को जोड़ने वाला रेखाखंड शीर्ष पर $2\alpha$ का कोण बनाता है?

मान लीजिए $x = 9$ एक दीर्घवृत्त $E$ की नियता है,जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और उत्केंद्रता $1/3$ है। मान लीजिए $P(\alpha, 0), \alpha > 0$,$E$ की एक नाभि है और $AB$ बिंदु $P$ से गुजरने वाली एक जीवा है। तो $AB$ के मध्य बिंदु का बिंदुपथ क्या है:

दीर्घवृत्त $x^2+4y^2=64$ में अंतर्निहित अधिकतम क्षेत्रफल वाले आयत की भुजाएँ हैं:

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{8} = 1$ पर,रेखा $2x - 3y + 25 = 0$ के सबसे निकटतम बिंदु $M$ है

दीर्घवृत्तों के संग्रह $\{E_1, E_2, E_3, \ldots\}$ और आयतों के संग्रह $\{R_1, R_2, R_3, \ldots\}$ को इस प्रकार परिभाषित करें:
$E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$
$R_1$: $E_1$ में अंतर्निहित,अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला सबसे बड़े क्षेत्रफल का आयत;
$E_n$: $R_{n-1}, n > 1$ में अंतर्निहित सबसे बड़े क्षेत्रफल का दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a_n^2} + \frac{y^2}{b_n^2} = 1$;
$R_n$: $E_n, n > 1$ में अंतर्निहित,अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला सबसे बड़े क्षेत्रफल का आयत।
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $E_{18}$ और $E_{19}$ की उत्केंद्रता समान नहीं है
$(2)$ $E_9$ में केंद्र से नाभि की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है
$(3)$ $E_9$ के नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{6}$ है
$(4)$ $\sum_{n=1}^N (\text{area of } R_n) < 24$,प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $N$ के लिए