यदि रेखाओं के युग्म ax^2-7xy-3y^2=0 और 2x^2+x | vedclass

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Question

(A) रेखाओं का दूसरा युग्म $2x^2+xy-6y^2=0$ है। इसके गुणनखंड करने पर,$(2x-3y)(x+2y)=0$ प्राप्त होता है। अतः रेखाएँ $2x-3y=0$ और $x+2y=0$ हैं। चूंकि दोन

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$7x^2+18xy-7y^2=0$

Vedclass · Answer

(A) रेखाओं का दूसरा युग्म $2x^2+xy-6y^2=0$ है। इसके गुणनखंड करने पर,$(2x-3y)(x+2y)=0$ प्राप्त होता है। अतः रेखाएँ $2x-3y=0$ और $x+2y=0$ हैं। चूंकि दोनों युग्मों में एक रेखा उभयनिष्ठ है,इसलिए $2x-3y=0$ या $x+2y=0$ को $ax^2-7xy-3y^2=0$ का एक गुणनखंड होना चाहिए। स्थिति $1$: यदि $2x-3y=0$ एक गुणनखंड है,तो $y = \frac{2}{3}x$। $ax^2-7xy-3y^2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर,$ax^2-7x(\frac{2}{3}x)-3(\frac{4}{9}x^2)=0$ प्राप्त होता है,जो $a-6=0$ यानी $a=6$ देता है। स्थिति $2$: यदि $x+2y=0$ एक गुणनखंड है,तो $x = -2y$। $ax^2-7xy-3y^2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर,$4a+11=0$ प्राप्त होता है,जो पूर्णांक नहीं है। अतः,$a=6$। समीकरण $6x^2-7xy-3y^2=0$ है। कोणों के समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{A-B} = \frac{xy}{H}$ है। यहाँ $A=6, H=-\frac{7}{2}, B=-3$ है। अतः,$\frac{x^2-y^2}{9} = -\frac{2xy}{7} \implies 7x^2+18xy-7y^2=0$।

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