જો $f(x) = \begin{vmatrix} x^3-x & 2e^{2x} & \sin x^2 \\ \cos(2x) & x+x^2 & e^{-x} \\ \tan 3x & \ln(1-2x) & x^2+x+1 \end{vmatrix}$ હોય,તો $f'(0)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos 2x & \sin 2x & 2\cos 2x \\ \cos 3x & \sin 3x & 3\cos 3x \end{vmatrix}$. તો $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = $

ધારો કે $\Delta = \begin{vmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi & 0 \end{vmatrix}$. તો:

$AX=O$ દ્વારા દર્શાવેલ ત્રણ અજ્ઞાત ધરાવતી ત્રણ સુરેખ સમીકરણોની સમાંગ પ્રણાલી ધ્યાનમાં લો. જો $X=\left[\begin{array}{c}l \\ m \\ 0\end{array}\right]$,જ્યાં $l \neq 0, m \neq 0, l, m \in \mathbb{R}$,આ પ્રણાલીના અનંત ઉકેલો દર્શાવે છે,તો $A$ નો શ્રેણીક (rank) કેટલો હશે?

ધારો કે $A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6\end{array}\right]$,$B=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ -1 & 2\end{array}\right]$ અને $C=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ છે. જો $a, b$ અને $c$ અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ ના શ્રેણિકના ક્રમ (rank) દર્શાવતા હોય,તો આ સંખ્યાઓનો સાચો ક્રમ કયો છે?

$A$ એ $5$ ક્રમનો એક સિંગ્યુલર શ્રેણિક છે. $B$ એ બીજો શ્રેણિક છે જેનો રેન્ક $\rho(B)$ એ $\rho(A)$ જેટલો છે અને $B$ પાસે $3$ ક્રમનો શૂન્યતર નિશ્ચાયક (minor) છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?