જો int {frac{{(2{x^2} + 1),dx}}{{({x^2} - 4)( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int {\frac{{2{x^2} + 1}}{{({x^2} - 4)({x^2} - 1)}}dx}$.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{2{x^2} + 1}}{{({x^2} - 4)({x^2} -

Vedclass · Accepted Answer

$1/2, 3/4$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int {\frac{{2{x^2} + 1}}{{({x^2} - 4)({x^2} - 1)}}dx}$.આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{{2{x^2} + 1}}{{({x^2} - 4)({x^2} - 1)}} = \frac{A}{{x^2 - 4}} + \frac{B}{{x^2 - 1}}$.$2{x^2} + 1 = A(x^2 - 1) + B(x^2 - 4)$.$x^2 = 1$ લેતા,$3 = B(1 - 4) \implies 3 = -3B \implies B = -1$.$x^2 = 4$ લેતા,$9 = A(4 - 1) \implies 9 = 3A \implies A = 3$.તેથી,$\frac{{2{x^2} + 1}}{{({x^2} - 4)({x^2} - 1)}} = \frac{3}{{x^2 - 4}} - \frac{1}{{x^2 - 1}}$.$I = \int {\frac{3}{{x^2 - 2^2}}dx} - \int {\frac{1}{{x^2 - 1^2}}dx}$.સૂત્ર $\int {\frac{1}{{x^2 - a^2}}dx = \frac{1}{{2a}}\log \left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right| + C}$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = 3 \cdot \frac{1}{{2(2)}}\log \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| - \frac{1}{{2(1)}}\log \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + C$.$I = \frac{3}{4}\log \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + \frac{1}{2}\log \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right| + C$.આને $\log \left[ {{{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)}^a}{{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right)}^b}} \right] + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1/2$ અને $b = 3/4$ મળે છે.

જો $\int {\frac{{(2{x^2} + 1)\,dx}}{{({x^2} - 4)({x^2} - 1)}} = \log \left[ {{{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)}^a}\,{{\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right)}^b}} \right]} + C,$ હોય,તો $a$ અને $b$ ની કિંમતો અનુક્રમે શું થાય?

Similar Questions

$\int \frac{1}{\cos x} \left[ \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\sin x + 3 \cos x} \right] dx =$

$\int \frac{x+1}{x(1+x e^x)^2} d x=$

$\int \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = $

$\int \frac{3x-2}{(x+1)(x-2)^2} dx = $ (જ્યાં $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.)

સંમેય વિધેય $\frac{1}{e^x - 1}$ નું સંકલન કરો. (સૂચના: $e^x = t$ લો)

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module