$\sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}}} $ का मान क्या है?

$(1+x)^{59}$ के विस्तार में,जब $x$ की बढ़ती घातों में विस्तार किया जाता है,तो अंतिम $30$ गुणांकों का योग क्या है?

योगफल ज्ञात कीजिए: $\left( \binom{21}{1} - \binom{10}{1} \right) + \left( \binom{21}{2} - \binom{10}{2} \right) + \left( \binom{21}{3} - \binom{10}{3} \right) + \dots + \left( \binom{21}{10} - \binom{10}{10} \right) = $

यदि $1^2 \cdot ^{20}C_1 + 2^2 \cdot ^{20}C_2 + 3^2 \cdot ^{20}C_3 + \dots + 20^2 \cdot ^{20}C_{20} = A(2^\beta)$ है,तो क्रमित युग्म $(A, \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1+x)^n = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + \ldots + p_n x^n$ है,तो $p_0 + p_3 + p_6 + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{2n}x^{2n}$ है,तो $a_0 + a_3 + a_6 + \dots =$