यदि $G$ एक त्रिभुज का केंद्रक है जिसके शीर्ष $A(3h, 3k)$,$B(-3a, 0)$ और $C(3a, 0)$ हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $AB^2 + BC^2 + AC^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2)$।

(N/A) माना $\Delta ABC$ के शीर्ष $A(3h, 3k)$,$B(-3a, 0)$ और $C(3a, 0)$ हैं।
केंद्रक $G$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$G = \left( \frac{3h - 3a + 3a}{3}, \frac{3k + 0 + 0}{3} \right) = (h, k)$।
अब,भुजाओं के वर्गों का योग ज्ञात करते हैं:
$AB^2 = (3h - (-3a))^2 + (3k - 0)^2 = (3h + 3a)^2 + 9k^2 = 9(h+a)^2 + 9k^2 = 9(h^2 + 2ha + a^2 + k^2)$
$BC^2 = (3a - (-3a))^2 + (0 - 0)^2 = (6a)^2 = 36a^2$
$AC^2 = (3h - 3a)^2 + (3k - 0)^2 = 9(h-a)^2 + 9k^2 = 9(h^2 - 2ha + a^2 + k^2)$
इनका योग करने पर:
$AB^2 + BC^2 + AC^2 = 9(h^2 + 2ha + a^2 + k^2) + 36a^2 + 9(h^2 - 2ha + a^2 + k^2)$
$= 9(2h^2 + 2a^2 + 2k^2) + 36a^2 = 18h^2 + 18k^2 + 18a^2 + 36a^2 = 18(h^2 + k^2 + 3a^2)$ ... $(1)$
अब,$3(GA^2 + GB^2 + GC^2)$ की गणना करते हैं:
$GA^2 = (h - 3h)^2 + (k - 3k)^2 = (-2h)^2 + (-2k)^2 = 4h^2 + 4k^2$
$GB^2 = (h - (-3a))^2 + (k - 0)^2 = (h + 3a)^2 + k^2 = h^2 + 6ha + 9a^2 + k^2$
$GC^2 = (h - 3a)^2 + (k - 0)^2 = (h - 3a)^2 + k^2 = h^2 - 6ha + 9a^2 + k^2$
इनका योग करने पर:
$GA^2 + GB^2 + GC^2 = (4h^2 + 4k^2) + (h^2 + 6ha + 9a^2 + k^2) + (h^2 - 6ha + 9a^2 + k^2) = 6h^2 + 6k^2 + 18a^2$
$3(GA^2 + GB^2 + GC^2) = 3(6h^2 + 6k^2 + 18a^2) = 18(h^2 + k^2 + 3a^2)$ ... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$AB^2 + BC^2 + AC^2 = 3(GA^2 + GB^2 + GC^2)$ सिद्ध होता है।