જો intlimits_0^1 frac{ln x}{sqrt{1 - x^2}} dx | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. $x = \sin 	heta$ લેતા,$dx = \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x 	o 0, 	heta 	o

Vedclass · Accepted Answer

$1/2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$. $x = \sin 	heta$ લેતા,$dx = \cos 	heta d	heta$ મળે. જ્યારે $x 	o 0, 	heta 	o 0$ અને જ્યારે $x 	o 1, 	heta 	o \pi/2$. $I = \int\limits_0^{\pi/2} \ln(\sin 	heta) d	heta = -\frac{\pi}{2} \ln 2$. હવે જમણી બાજુ $(RHS)$ ધ્યાનમાં લો: $J = \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$. ગુણધર્મ $\int\limits_0^a f(x) dx = \int\limits_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,$J = \int\limits_0^\pi \ln(1 - \cos x) dx$. $2J = \int\limits_0^\pi \ln(1 - \cos^2 x) dx = \int\limits_0^\pi \ln(\sin^2 x) dx = 2 \int\limits_0^\pi \ln(\sin x) dx$. કારણ કે $\int\limits_0^\pi \ln(\sin x) dx = 2 \int\limits_0^{\pi/2} \ln(\sin x) dx = 2(-\frac{\pi}{2} \ln 2) = -\pi \ln 2$,તેથી $2J = 2(-\pi \ln 2) = -2\pi \ln 2$,એટલે કે $J = -\pi \ln 2$. $I = kJ$ ને સરખાવતા,$-\frac{\pi}{2} \ln 2 = k(-\pi \ln 2)$,જે આપણને $k = 1/2$ આપે છે.

જો $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

જો $M=\int_0^{\infty} \frac{\log t}{1+t^3} d t$ અને $N=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t e^{2 t}}{1+e^{3 t}} d t$ હોય,તો

$\sum_{n=1}^{100} \int_{n-1}^{n} e^{x-[x]} dx$ નું મૂલ્ય શોધો,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે.

$\int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{2{x^3} - 3{x^2} - x + 1}}\,dx} $ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{200 \sin x+100 \cos x}{\sin x+\cos x} d x$ ની કિંમત શોધો. ($\pi$ માં)

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2-\sin \theta}{2+\sin \theta}\right) d \theta$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module