જો ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  x&{\sin \,\theta }&{\cos \,\theta } \\ 
  {\sin \,\theta }&{ - x}&1 \\ 
  {\cos \,\theta }&1&x 
\end{array}} \right|$ અને ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
  x&{\sin \,2\theta }&{\cos \,\,2\theta } \\ 
  {\sin \,2\theta }&{ - x}&1 \\ 
  {\cos \,\,2\theta }&1&x 
\end{array}} \right|$, $x \ne 0$ ;તો દરેક $\theta  \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$ માટે . . .  . 

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}2&8&4\\{ - 5}&6&{ - 10}\\1&7&2\end{array}\,} \right|$ = . . ..

જો $x + y - z = 0,\,3x - \alpha y - 3z = 0,\,\,x - 3y + z = 0$ ને શૂન્યતર ઉકેલ હોય, તો $\alpha$ ની કિમત મેળવો.

જો $\omega $ એ એકનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ હોય તો $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{2\omega }\\\omega &{{\omega ^2}}\end{array}} \right|$, તો ${\Delta ^2}$ = . . .

અહી $p$ અને $p+2$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}p ! & (p+1) ! & (p+2) ! \\ (p+1) ! & (p+2) ! & (p+3) ! \\ (p+2) ! & (p+3) ! & (p+4) !\end{array}\right|$ હોય તો $\alpha$ અને $\beta$ ની મહતમ કિમંતોનો સરવાળો મેળવો કે જેથી $p ^{\alpha}$ અને $( p +2)^{\beta}$ એ $\Delta$ ને વિભાજે .

નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધો : $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -5 & -1\end{array}\right|$