यदि $\vec p$ और $\vec q$ इकाई सदिश हैं,इस प्रकार कि $[\vec p, \vec q, \vec p \times \vec q] = \frac{1}{2}$,तो $\vec p$ और $\vec q$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ और $b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है। यदि $p$ एक ऐसा इकाई सदिश है कि $[a b p]$ अधिकतम है,तो $p=$

यदि चार बिंदु $A(6,2,4)$,$B(1,3,5)$,$C(1,-2,3)$ और $D(6, k, 2)$ समतलीय हैं,तो $k=$

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं और बिंदु $P_1 = \lambda \vec{a}+3 \vec{b}-\vec{c}$,$P_2 = \vec{a}-\lambda \vec{b}+3 \vec{c}$,$P_3 = 3 \vec{a}+4 \vec{b}-\lambda \vec{c}$,और $P_4 = \vec{a}-6 \vec{b}+6 \vec{c}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का एक मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी सह-अंतिम भुजाएँ सदिशों $\overrightarrow{a} = \hat{i} + \hat{j} + n\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - n\hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + n\hat{j} + 3\hat{k}$ $(n \geq 0)$ द्वारा दी गई हैं,$158$ घन इकाई है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$a$ के किस मान के लिए $\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a\hat{k}$ और $a\hat{i} + \hat{k}$ सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन न्यूनतम होगा?