આપેલ છે કે દરેક a in (0,1) માટે,લક્ષ g(a) = l | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) $1.$ $g(a)$ શોધવા માટે,આપણે સંકલન $g(a) = \lim_{n \rightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.$a = \frac{1}{2}$ માટે,$

Vedclass · Accepted Answer

$(A, D)$

Vedclass · Answer

(C) $1.$ $g(a)$ શોધવા માટે,આપણે સંકલન $g(a) = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-a}(1-t)^{a-1} dt$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.$a = \frac{1}{2}$ માટે,$g\left(\frac{1}{2}ight) = \int_0^1 t^{-1/2}(1-t)^{-1/2} dt = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t(1-t)}}$.આદેશ $t = \sin^2 	heta$ લેતા,$dt = 2 \sin 	heta \cos 	heta d	heta$,સંકલન $\int_0^{\pi/2} \frac{2 \sin 	heta \cos 	heta}{\sin 	heta \cos 	heta} d	heta = \int_0^{\pi/2} 2 d	heta = \pi$ બને છે.આમ,$g\left(\frac{1}{2}ight) = \pi$.$2.$ આપણે જોઈએ છીએ કે $g(1-a) = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{-(1-a)}(1-t)^{(1-a)-1} dt = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} t^{a-1}(1-t)^{-a} dt$.ગુણધર્મ $\int_n^{1-n} f(t) dt = \int_n^{1-n} f(1-t) dt$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $g(1-a) = \lim_{n ightarrow 0^{+}} \int_n^{1-n} (1-t)^{a-1} t^{-a} dt = g(a)$ મળે છે.કારણ કે $g(1-a) = g(a)$,સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને બંને બાજુ $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $-g'(1-a) = g'(a)$ મળે છે.$a = \frac{1}{2}$ પર,$-g'\left(\frac{1}{2}ight) = g'\left(\frac{1}{2}ight)$,જેનો અર્થ છે કે $2g'\left(\frac{1}{2}ight) = 0$,તેથી $g'\left(\frac{1}{2}ight) = 0$.તેથી,સાચી જોડ $(A, D)$ છે.

Similar Questions

જો $\int_{0}^{\pi} (\sin^{3} x) e^{-\sin^{2} x} dx = \alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ હોય,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત $....$ થાય.

જો $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ અને $K, L \in N$ હોય,તો શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(K, L)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\alpha = \int_{0}^{2\sqrt{3}} \log_2(x^2+4) dx + \int_{2}^{4} \sqrt{2^x-4} dx$ હોય,તો $\alpha^2$ ની કિંમત . . . . . . થાય.

ધારો કે $r_k = \frac{\int_0^1 (1-x^7)^k dx}{\int_0^1 (1-x^7)^{k+1} dx}$,$k \in N$. તો $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{7(r_k-1)}$ નું મૂલ્ય ........... છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module