ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
$7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
(N/A) ધારો કે $P(n): 7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$7^{1}-3^{1} = 4$,જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $m \in N$ માટે $P(m)$ સત્ય છે,એટલે કે $7^{m}-3^{m} = 4k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$7^{m} = 4k + 3^{m}$.
પગલું $3$: $n=m+1$ માટે,આપણી પાસે $7^{m+1}-3^{m+1}$ છે.
$= 7 \cdot 7^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 7(4k + 3^{m}) - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 7 \cdot 3^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 4 \cdot 3^{m}$
$= 4(7k + 3^{m})$.
કારણ કે $4(7k + 3^{m})$ એ $4$ નો ગુણક છે,તેથી $P(m+1)$ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$7^{n}-3^{n}$ એ તમામ $n \in N$ માટે $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$7^{1}-3^{1} = 4$,જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $m \in N$ માટે $P(m)$ સત્ય છે,એટલે કે $7^{m}-3^{m} = 4k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$7^{m} = 4k + 3^{m}$.
પગલું $3$: $n=m+1$ માટે,આપણી પાસે $7^{m+1}-3^{m+1}$ છે.
$= 7 \cdot 7^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 7(4k + 3^{m}) - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 7 \cdot 3^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 4 \cdot 3^{m}$
$= 4(7k + 3^{m})$.
કારણ કે $4(7k + 3^{m})$ એ $4$ નો ગુણક છે,તેથી $P(m+1)$ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$7^{n}-3^{n}$ એ તમામ $n \in N$ માટે $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
Explore More
Similar Questions
વિધાન $P(n): 1 \times 1! + 2 \times 2! + 3 \times 3! + \dots + n \times n! = (n + 1)! - 1$ એ
Easy
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે $a_{1}=3$ અને તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $k > 1$ માટે $a_{k}=7 a_{k-1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત શ્રેણી $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ માટે,તમામ $n \in N$ માટે સામાન્ય પદ $a_{n}=3 \cdot 7^{n-1}$ છે.
Difficult
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે ઘાતાંકનો નિયમ $(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$ સાબિત કરો.
Medium
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે જ્યાં $n \geq 2$:
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$
Difficult
View Solutionજ્યારે $P$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,ત્યારે ${P^{n + 1}} + {(P + 1)^{2n - 1}}$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?
MediumIIT 1994
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo