ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે તમામ $n \in N$ માટે $\frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(N/A) $P(n): \frac{n^{5}}{5}+\frac{n^{3}}{3}+\frac{7n}{15}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે,$n \in N$.
$n=1$ માટે,$P(1) = \frac{1^{5}}{5} + \frac{1^{3}}{3} + \frac{7(1)}{15} = \frac{3+5+7}{15} = \frac{15}{15} = 1$,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
ધારો કે $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $\frac{k^{5}}{5} + \frac{k^{3}}{3} + \frac{7k}{15} = m$,જ્યાં $m \in N$.
$n=k+1$ માટે,$P(k+1) = \frac{(k+1)^{5}}{5} + \frac{(k+1)^{3}}{3} + \frac{7(k+1)}{15}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $P(k+1) = \frac{k^{5}+5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1}{5} + \frac{k^{3}+3k^{2}+3k+1}{3} + \frac{7k+7}{15}$.
ગોઠવણી કરતા: $P(k+1) = (\frac{k^{5}}{5} + \frac{k^{3}}{3} + \frac{7k}{15}) + (k^{4} + 2k^{3} + 2k^{2} + k) + (k^{2} + k) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{3} + \frac{7}{15})$.
$P(k+1) = m + k^{4} + 2k^{3} + 3k^{2} + 2k + (\frac{3+5+7}{15}) = m + k^{4} + 2k^{3} + 3k^{2} + 2k + 1$.
$m, k \in N$ હોવાથી,$P(k+1)$ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.