फलन f(x) = (1 + frac{1}{x})^x के लिए,निम्नलिख | vedclass

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Question

(B) फलन $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ के लिए प्रत्येक सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $1$. $A$ के लिए: $\lim_{x 	o \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$. $2$.

Vedclass · Accepted Answer

$\lim_{x 	o 0^+} f(x)$

Vedclass · Answer

(B) फलन $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ के लिए प्रत्येक सीमा का मूल्यांकन करते हैं: $1$. $A$ के लिए: $\lim_{x 	o \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$. $2$. $B$ के लिए: $\lim_{x 	o 0^+} (1 + \frac{1}{x})^x$. जैसे ही $x 	o 0^+$,$\frac{1}{x} 	o \infty$,इसलिए आधार $(1 + \frac{1}{x}) 	o \infty$. अतः,$\infty^0$ एक अनिर्धारित रूप है। मान लीजिए $y = (1 + \frac{1}{x})^x$,तो $\ln y = x \ln(1 + \frac{1}{x}) = x \ln(\frac{x+1}{x}) = x [\ln(x+1) - \ln x]$. जैसे ही $x 	o 0^+$,$x \ln x 	o 0$,इसलिए $\ln y 	o 0 \cdot \ln(1) = 0$,अतः $y 	o e^0 = 1$. $3$. $C$ के लिए: $\lim_{x 	o -1^-} (1 + \frac{1}{x})^x$. जैसे ही $x 	o -1^-$,$(1 + \frac{1}{x}) 	o 0^+$,इसलिए $0^{-1} = \infty$. $4$. $D$ के लिए: $\lim_{x 	o -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = \lim_{t 	o \infty} (1 - \frac{1}{t})^{-t} = [\lim_{t 	o \infty} (1 - \frac{1}{t})^t]^{-1} = (e^{-1})^{-1} = e$. अतः,वह सीमा जो $1$ की ओर प्रवृत्त होती है,वह $B$ है।

फलन $f(x) = (1 + \frac{1}{x})^x$ के लिए,निम्नलिखित में से कौन सी सीमा $1$ की ओर प्रवृत्त होती है?

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मान लीजिए $A = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \left(1 + \tan^2 \sqrt{x}\right)^{\frac{1}{2x}}$,तो $\log_{e} A = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{a^x} - {b^x}}}{x}} \right) = $

$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{3|x|-x}{|x|-2x} - \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log(1+x^3)}{\sin^3 x} =$

मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{3} x \sin x - (1 - \cos x)$ है। सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $k$ ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^k} \neq 0$ हो।

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{{x^2} + 5x + 3}}{{{x^2} + x + 3}}} \right)^x} = $

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