int_{-1}^{1} [x + [x + [x]]] , dx = (जहाँ [c | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x + n] = [x] + n$ होता है। दिए गए व्यंजक $[x + [x + [x]]]$ को हम इस प्रकार सरल कर सकते हैं: $[x + [x

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$-3$

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(C) हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x + n] = [x] + n$ होता है। दिए गए व्यंजक $[x + [x + [x]]]$ को हम इस प्रकार सरल कर सकते हैं: $[x + [x + [x]]] = [x + [x] + [x]] = [x + 2[x]] = [x] + 2[x] = 3[x]$. अब,समाकलन का मान ज्ञात करते हैं: $\int_{-1}^{1} 3[x] \, dx = 3 \int_{-1}^{1} [x] \, dx$. $x = 0$ पर समाकलन को विभाजित करने पर: $3 \left( \int_{-1}^{0} [x] \, dx + \int_{0}^{1} [x] \, dx \right)$. $x \in [-1, 0)$ के लिए,$[x] = -1$ होता है। $x \in [0, 1)$ के लिए,$[x] = 0$ होता है। अतः,$3 \left( \int_{-1}^{0} (-1) \, dx + \int_{0}^{1} (0) \, dx \right) = 3 \left( [-x]_{-1}^{0} + 0 \right) = 3(-1) = -3$.

$\int_{-1}^{1} [x + [x + [x]]] \, dx = $ (जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है)

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