सभी दो बार अवकलनीय फलनों f: mathbb{R} rightar | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$.अंतराल $[0, 1]$ में $f(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू करने पर.चूँकि $f(0)=f(1)=0$ और $f$ अवकलनीय है,इसलिए क

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$f^{\prime \prime}(x)=0,$ किसी $x \in(0,1)$ के लिए

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$.अंतराल $[0, 1]$ में $f(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू करने पर.चूँकि $f(0)=f(1)=0$ और $f$ अवकलनीय है,इसलिए कोई $\alpha \in (0, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(\alpha)=0$ है।अब,अंतराल $[0, \alpha]$ पर फलन $f^{\prime}(x)$ पर विचार करें।हमारे पास $f^{\prime}(0)=0$ और $f^{\prime}(\alpha)=0$ है।चूँकि $f$ दो बार अवकलनीय है,$f^{\prime}$ अंतराल $[0, \alpha]$ पर सतत है और $(0, \alpha)$ पर अवकलनीय है।$f^{\prime}(x)$ पर रोले की प्रमेय लागू करने पर,कोई $\beta \in (0, \alpha)$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime \prime}(\beta)=0$ है।चूँकि $\beta \in (0, \alpha) \subset (0, 1)$,यह सिद्ध होता है कि किसी $x \in (0, 1)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)=0$ है।

सभी दो बार अवकलनीय फलनों $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,जहाँ $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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अंतराल $[0, 2\pi]$ पर $f(x)=\sin x+\cos x+6$ के लिए रोले के प्रमेय के अनुसार $c$ के मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है। मान लीजिए $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है। तो,

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