n के पर्याप्त बड़े मान के लिए,प्रथम n धनात्मक | vedclass

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Question

(B) बड़े $n$ के लिए योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$ ज्ञात करने के लिए,हम निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग रीमान योग की सीमा के रूप में कर सकते है

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$\frac{2}{3} n^{\frac{3}{2}}$

Vedclass · Answer

(B) बड़े $n$ के लिए योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}$ ज्ञात करने के लिए,हम निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग रीमान योग की सीमा के रूप में कर सकते हैं। हम योग को इस प्रकार लिखते हैं: $S_n = n \sqrt{n} \left( \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}} ight)$ जैसे-जैसे $n 	o \infty$,कोष्ठक में दिया गया पद निश्चित समाकल की ओर अग्रसर होता है: $\lim_{n 	o \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}} = \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx$ समाकल का मान ज्ञात करने पर: $\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} ight]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$ अतः,बड़े $n$ के लिए: $S_n \approx n \sqrt{n} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} n^{\frac{3}{2}}$

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