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Question

(B) माना $I = \int_1^e \left( \frac{	an^{-1}x}{x} + \frac{\ln x}{1+x^2} ight) dx$. हम इसे दो समाकलों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_1^e \frac{\

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$	an^{-1}e$

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(B) माना $I = \int_1^e \left( \frac{	an^{-1}x}{x} + \frac{\ln x}{1+x^2} ight) dx$. हम इसे दो समाकलों में विभाजित कर सकते हैं: $I = \int_1^e \frac{	an^{-1}x}{x} dx + \int_1^e \frac{\ln x}{1+x^2} dx$. प्रथम समाकल $\int_1^e 	an^{-1}x \cdot \frac{1}{x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर: माना $u = 	an^{-1}x$ और $dv = \frac{1}{x} dx$. तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = \ln x$. सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर: $\int_1^e \frac{	an^{-1}x}{x} dx = [	an^{-1}x \cdot \ln x]_1^e - \int_1^e \frac{\ln x}{1+x^2} dx$. इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \left( [	an^{-1}x \cdot \ln x]_1^e - \int_1^e \frac{\ln x}{1+x^2} dx ight) + \int_1^e \frac{\ln x}{1+x^2} dx$. समाकल के पद कट जाएंगे: $I = [	an^{-1}x \cdot \ln x]_1^e$. सीमाओं का मान रखने पर: $I = (	an^{-1}e \cdot \ln e) - (	an^{-1}1 \cdot \ln 1)$. चूंकि $\ln e = 1$ और $\ln 1 = 0$: $I = 	an^{-1}e \cdot 1 - 0 = 	an^{-1}e$.

$\int\limits_1^e {\left( {\frac{{{{\tan }^{ - 1}}x}}{x} + \frac{{\ln x}}{{1 + {x^2}}}} \right)} \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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