વિધેય $f(x)=(x-2)^{4}(x+1)^{3}$ માટે નીચેના બિંદુઓ શોધો:
$(i)$ સ્થાનીય મહત્તમ મૂલ્ય
$(ii)$ સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય
$(iii)$ નતિપરિવર્તન બિંદુ

(A) આપેલ વિધેય $f(x)=(x-2)^{4}(x+1)^{3}$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલિત $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = 4(x-2)^{3}(x+1)^{3} + 3(x+1)^{2}(x-2)^{4}$
$f'(x) = (x-2)^{3}(x+1)^{2} [4(x+1) + 3(x-2)]$
$f'(x) = (x-2)^{3}(x+1)^{2} (4x + 4 + 3x - 6)$
$f'(x) = (x-2)^{3}(x+1)^{2} (7x - 2)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 2$,$x = -1$,અને $x = \frac{2}{7}$ મળે છે.
આ બિંદુઓની આસપાસ $f'(x)$ ના ચિહ્નની તપાસ કરતા:
$1$. $x = 2$ માટે: $x$ ની કિંમત $2$ ને ઓળંગે ત્યારે $f'(x)$ ઋણમાંથી ધન થાય છે,તેથી $x = 2$ એ સ્થાનીય ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$2$. $x = \frac{2}{7}$ માટે: $x$ ની કિંમત $\frac{2}{7}$ ને ઓળંગે ત્યારે $f'(x)$ ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી $x = \frac{2}{7}$ એ સ્થાનીય મહત્તમ બિંદુ છે.
$3$. $x = -1$ માટે: $x$ ની કિંમત $-1$ ને ઓળંગે ત્યારે $f'(x)$ નું ચિહ્ન બદલાતું નથી (કારણ કે $(x+1)^{2}$ હંમેશા અ-ઋણ છે),તેથી $x = -1$ એ નતિપરિવર્તન બિંદુ છે.
આમ:
$(i)$ સ્થાનીય મહત્તમ બિંદુ $x = \frac{2}{7}$ છે.
$(ii)$ સ્થાનીય ન્યૂનતમ બિંદુ $x = 2$ છે.
$(iii)$ નતિપરિવર્તન બિંદુ $x = -1$ છે.