$(ax + b)^n$ વિધેયનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન શોધો,જ્યાં $a$ અને $b$ અચળ શૂન્યતર સંખ્યાઓ છે અને $n$ પૂર્ણાંક છે.

ધારો કે $f(x) = (ax + b)^n$.
વિકલનના પ્રથમ સિદ્ધાંત મુજબ,$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(a(x+h) + b)^n - (ax + b)^n}{h}$.
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(ax + b + ah)^n - (ax + b)^n}{h}$.
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(ax + b)^n (1 + \frac{ah}{ax+b})^n - (ax + b)^n}{h}$.
દ્વિપદી પ્રમેય $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(ax + b)^n [1 + n(\frac{ah}{ax+b}) + \dots] - (ax + b)^n}{h}$.
$f'(x) = (ax + b)^n \lim_{h \to 0} \frac{n(\frac{ah}{ax+b}) + \dots}{h}$.
$f'(x) = (ax + b)^n \cdot \frac{na}{ax+b} = na(ax + b)^{n-1}$.