फलन operatorname{cosec} x का अवकलज ज्ञात कीजि | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \operatorname{cosec} x$. अवकलज के प्रथम सिद्धांत का उपयोग करते हुए:$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$= \lim_{h 	o 0}

Vedclass · Accepted Answer

$-\operatorname{cosec} x \cot x$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = \operatorname{cosec} x$. अवकलज के प्रथम सिद्धांत का उपयोग करते हुए:$f'(x) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$= \lim_{h 	o 0} \frac{\operatorname{cosec}(x+h) - \operatorname{cosec} x}{h}$$= \lim_{h 	o 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{1}{\sin(x+h)} - \frac{1}{\sin x} ight]$$= \lim_{h 	o 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{\sin x - \sin(x+h)}{\sin x \sin(x+h)} ight]$सर्वसमिका $\sin A - \sin B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करते हुए:$= \lim_{h 	o 0} \frac{1}{h} \left[ \frac{2 \cos(\frac{2x+h}{2}) \sin(-\frac{h}{2})}{\sin x \sin(x+h)} ight]$$= \lim_{h 	o 0} \left[ -\cos(\frac{2x+h}{2}) \cdot \frac{\sin(h/2)}{h/2} \cdot \frac{1}{\sin x \sin(x+h)} ight]$चूंकि $\lim_{h 	o 0} \frac{\sin(h/2)}{h/2} = 1$:$= -\cos x \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} = -\cot x \operatorname{cosec} x$

फलन $\operatorname{cosec} x$ का अवकलज ज्ञात कीजिए।

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