int_1^{e^2} frac{dx}{x(1+log x)^2} = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1+\log x)^2}$.$t = 1 + \log x$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।जब $x = 1$ है,तब $t =

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$\frac{2}{3}$

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(A) माना $I = \int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1+\log x)^2}$.$t = 1 + \log x$ प्रतिस्थापन करने पर,$dt = \frac{1}{x} dx$ प्राप्त होता है।जब $x = 1$ है,तब $t = 1 + \log(1) = 1 + 0 = 1$ है।जब $x = e^2$ है,तब $t = 1 + \log(e^2) = 1 + 2 = 3$ है।अतः,$I = \int_1^3 \frac{dt}{t^2} = \int_1^3 t^{-2} dt$ है।समाकलन करने पर,$I = \left[ \frac{t^{-1}}{-1} \right]_1^3 = \left[ -\frac{1}{t} \right]_1^3$ प्राप्त होता है।सीमाओं का मान रखने पर,$I = \left( -\frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{1}{1} \right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ है।

$\int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1+\log x)^2} = $

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