વિધેયનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો: $(x \cos x)^{x} + (x \sin x)^{\frac{1}{x}}$

ધારો કે $y = (x \cos x)^{x} + (x \sin x)^{\frac{1}{x}}$.
ધારો કે $u = (x \cos x)^{x}$ અને $v = (x \sin x)^{\frac{1}{x}}$.
તેથી $y = u + v$,જેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ $(1)$.
$u = (x \cos x)^{x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા:
$\log u = x \log(x \cos x) = x(\log x + \log \cos x) = x \log x + x \log \cos x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x \log x) + \frac{d}{dx}(x \log \cos x) = (1 + \log x) + (\log \cos x - x \tan x)$.
$\frac{du}{dx} = (x \cos x)^{x} [1 - x \tan x + \log(x \cos x)]$ $(2)$.
$v = (x \sin x)^{\frac{1}{x}}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા:
$\log v = \frac{1}{x} \log(x \sin x) = \frac{1}{x}(\log x + \log \sin x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x} \log x) + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x} \log \sin x) = \frac{1 - \log x}{x^2} + \frac{x \cot x - \log(x \sin x)}{x^2} = \frac{1 + x \cot x - \log(x \sin x)}{x^2}$.
$\frac{dv}{dx} = (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \left[ \frac{1 + x \cot x - \log(x \sin x)}{x^2} \right]$ $(3)$.
$(1), (2)$ અને $(3)$ પરથી:
$\frac{dy}{dx} = (x \cos x)^{x} [1 - x \tan x + \log(x \cos x)] + (x \sin x)^{\frac{1}{x}} \left[ \frac{1 + x \cot x - \log(x \sin x)}{x^2} \right]$.