x के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: sin ^ | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = \sin ^{-1}\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^{x}}\right)$.हम $\sin ^{-1}$ के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = \sin ^{-1}\left(\

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$\frac{2^{x+1} \log 2}{1+4^{x}}$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = \sin ^{-1}\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^{x}}ight)$.हम $\sin ^{-1}$ के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:$f(x) = \sin ^{-1}\left(\frac{2 \cdot 2^{x}}{1+(2^{x})^{2}}ight)$.माना $2^{x} = 	an 	heta$,तब $	heta = 	an ^{-1}(2^{x})$.इस मान को फलन में रखने पर:$f(x) = \sin ^{-1}\left(\frac{2 	an 	heta}{1+	an ^{2} 	heta}ight) = \sin ^{-1}(\sin 2	heta) = 2	heta = 2 	an ^{-1}(2^{x})$.अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1+(2^{x})^{2}} \cdot \frac{d}{dx}(2^{x})$.हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(a^{x}) = a^{x} \log a$,इसलिए $\frac{d}{dx}(2^{x}) = 2^{x} \log 2$.अतः,$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{1+4^{x}} \cdot 2^{x} \log 2 = \frac{2^{x+1} \log 2}{1+4^{x}}$.

$x$ के सापेक्ष निम्नलिखित का अवकलन कीजिए: $\sin ^{-1}\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^{x}}\right)$

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