जब $R_{1}, R_{2}$ और $R_{3}$ प्रतिरोध वाले तीन प्रतिरोधकों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) मान लीजिए कि $R_{1}, R_{2}$ और $R_{3}$ प्रतिरोध वाले तीन प्रतिरोधक चित्र में दिखाए अनुसार समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
जब कुल विद्युत धारा $I$ बिंदु $a$ पर पहुँचती है,तो यह तीन भागों में विभाजित हो जाती है: $R_{1}$ से प्रवाहित होने वाली $I_{1}$,$R_{2}$ से प्रवाहित होने वाली $I_{2}$,और $R_{3}$ से प्रवाहित होने वाली $I_{3}$।
चूँकि आवेश संरक्षित रहना चाहिए,इसलिए बिंदु $a$ पर प्रवेश करने वाली कुल विद्युत धारा $I$ उस बिंदु से बाहर निकलने वाली धाराओं के योग के बराबर होनी चाहिए। अतः,हमारे पास है:
$I = I_{1} + I_{2} + I_{3}$ $...(1)$
चूँकि प्रतिरोधक समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $V$ समान रहता है। ओम के नियम के अनुसार,प्रत्येक प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा है:
$I_{1} = \frac{V}{R_{1}}, I_{2} = \frac{V}{R_{2}}, I_{3} = \frac{V}{R_{3}}$
इन मानों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{V}{R_{1}} + \frac{V}{R_{2}} + \frac{V}{R_{3}}$ $...(2)$
यदि $R_{P}$ समानांतर संयोजन का तुल्य प्रतिरोध है,तो कुल विद्युत धारा $I$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$I = \frac{V}{R_{P}}$ $...(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{V}{R_{P}} = \frac{V}{R_{1}} + \frac{V}{R_{2}} + \frac{V}{R_{3}}$
दोनों पक्षों को $V$ से विभाजित करने पर,हमें तुल्य प्रतिरोध के लिए व्यंजक प्राप्त होता है:
$\frac{1}{R_{P}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}$