પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની વ્યાખ્યા આપી ગતિપથનું સમીકરણ $y\, = \,(\tan \,{\theta _0})x\, - \,\frac{g}{{(2\,\cos \,{\theta _0})}}{x^2}$ મેળવો.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની વ્યાખ્યા આપી ગતિપથનું સમીકરણ $y\, = \,(\tan \,{\theta _0})x\, - \,\frac{g}{{(2\,\cos \,{\theta _0})}}{x^2}$ મેળવો.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ અને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $: (Projectile motion and Projectile) :$ "જ્યારે કોઈ પદાર્થને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રમાં સમક્ષિતિજ સાથે અમુક કોણે ફેકવામાં આવે છે ત્યારે તે નિયમિત સમક્ષિતિજ વેગ અને નિયમિત ઊર્ધ્વ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. આવી દ્રી-પારિમાણિક $(2-D)$ ગતિને પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કહે છે.
ક્રોઈ પણ સમયે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના યામોનાં મૂલ્યોના સમી.
$x=\left(v_{0} \cos \theta_{0}\right) t$
અને $y=\left(v_{0} \sin \theta_{0}\right) t-\frac{1}{2} g t^{2}$ છે.
સમી. $(1)$ પરથી $t=\frac{x}{v_{0} \cos \theta_{0}}$ ને સમી.$(2)$માં મુક્તા
$y=\left(v_{0} \sin \theta_{0}\right)\left(\frac{x}{v_{0} \cos \theta_{0}}\right)-\frac{1}{2} g\left(\frac{x}{v_{0} \cos \theta_{0}}\right)^{2}$
$y=\tan \theta_{0} x-\frac{1}{2} \frac{g}{\left(v_{0} \cos \theta_{0}\right)^{2}} \cdot x^{2}$
Similar Questions
કોઈ પદાર્થને $15^o$ ના ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરતી અવધિ $1.5\, km$ મળે છે. આ પદાર્થને તેટલા જ વેગથી $45^o$ ના ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરતાં મળતી અવધિ શોધો.
કોઈ પદાર્થને $15^o$ ના ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરતી અવધિ $1.5\, km$ મળે છે. આ પદાર્થને તેટલા જ વેગથી $45^o$ ના ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરતાં મળતી અવધિ શોધો.
એક કણને જમીન પરથી સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણા $80\,m / s$ ની ઝડપે પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. તો સમયના અંતરાલ $t=2\; s$ થી $t=6\; s$ દરમિયાન કણના સરેરાશ વેગનું મુલ્ય ............ $m / s$ થાય. [$g =10 \,m/s{ }^2$ ]
એક કણને જમીન પરથી સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણા $80\,m / s$ ની ઝડપે પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. તો સમયના અંતરાલ $t=2\; s$ થી $t=6\; s$ દરમિયાન કણના સરેરાશ વેગનું મુલ્ય ............ $m / s$ થાય. [$g =10 \,m/s{ }^2$ ]
એક દડાને જમીન પરથી સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. તે ઉગમબિંદુથી $d_1$ અંતરે દૂર રહેલ થાંભલની ટોચ સુધી પહોંચીને જમીન પર થાંભલાથી $d _2$ અંતરે નીચે આવે છે તો થાભલાની ઊંચાઈ શું હશે ?
એક દડાને જમીન પરથી સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે પ્રક્ષેપિત કરવામાં આવે છે. તે ઉગમબિંદુથી $d_1$ અંતરે દૂર રહેલ થાંભલની ટોચ સુધી પહોંચીને જમીન પર થાંભલાથી $d _2$ અંતરે નીચે આવે છે તો થાભલાની ઊંચાઈ શું હશે ?
દડાને મહત્તમ $100\,m$ દૂર સુધી ફેંકી શકાય છે.તો મહત્તમ ........ $m$ ઊંચાઇ સુધી ફેકી શકાય.
દડાને મહત્તમ $100\,m$ દૂર સુધી ફેંકી શકાય છે.તો મહત્તમ ........ $m$ ઊંચાઇ સુધી ફેકી શકાય.
દ્વિપરિમાણમાં ગતિનો અભ્યાસ કરવા સ્થાન, વેગ અને પ્રવેગને સદિશ સ્વરૂપમાં $\vec A \, = \,{A_x}\widehat i\, + {A_y}\widehat j$ વડે રજૂ કરાય છે. જ્યાં $\widehat i$ અને $\widehat j$ એ અનુક્રમે $x-$ અક્ષ અને $y-$ અક્ષની દિશામાંના એકમ સદિશ છે તથા $A_x$ અને $A_y$ એ અનુક્રમે $x-$ અક્ષ અને $y-$ અક્ષની દિશામાંના ઘટકો છે. આવી ગતિનો અભ્યાસ વર્તુળાકાર ઘુવીય યામોના રૂપમાં પણ કરી શકાય. જેમાં $\overrightarrow A \, = \,{A_r}\widehat r\,\, + \,{A_\theta }\hat \theta $, જ્યાં $r\, = \,\frac{{\overrightarrow r \,}}{r}\, = \,\cos \,\theta \widehat {i\,}\, + \,\sin \,\theta \,\widehat j$ અને $\hat \theta = - \sin \,\theta \,\widehat i + \cos \,\theta \,\widehat j\,$ તથા $\widehat r\,$ અને $\widehat \theta $ એ વધતાં મૂલ્યની દિશામાંના એકમ સદિશો છે, તો ......
$(a)$ ${\widehat {i\,}}$ અને ${\widehat {j\,}}$ ને ${\widehat {r\,}}$ અને ${\widehat {\theta }}$ ના સ્વરૂપમાં રજૂ કરો.
$(b)$ દર્શાવો કે $\widehat r$ અને $\widehat \theta $ બંને પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો છે.
(c) દર્શાવો કે
$\frac{d}{{dr}}(\widehat r)\, = \,\omega \hat \theta \,$, જ્યાં $\omega \, = \,\frac{{d\theta }}{{dt}}$ અને $\frac{d}{{dt}}(\widehat \theta )\, = \, - \omega \widehat r\,$.
$(d)$ સ્પાયરલ ગતિ કરતા કણની ગતિ $\overrightarrow r \, = \,a\theta \widehat r$ વડે આપવામાં આવે છે. જ્યાં $a = 1$ તથા $a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર મેળવો.
$(e) $ સ્પાયરલ ગતિ કરતાં કણ માટે વેગ અને પ્રવેગને ધ્રુવીય સદિશોના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
દ્વિપરિમાણમાં ગતિનો અભ્યાસ કરવા સ્થાન, વેગ અને પ્રવેગને સદિશ સ્વરૂપમાં $\vec A \, = \,{A_x}\widehat i\, + {A_y}\widehat j$ વડે રજૂ કરાય છે. જ્યાં $\widehat i$ અને $\widehat j$ એ અનુક્રમે $x-$ અક્ષ અને $y-$ અક્ષની દિશામાંના એકમ સદિશ છે તથા $A_x$ અને $A_y$ એ અનુક્રમે $x-$ અક્ષ અને $y-$ અક્ષની દિશામાંના ઘટકો છે. આવી ગતિનો અભ્યાસ વર્તુળાકાર ઘુવીય યામોના રૂપમાં પણ કરી શકાય. જેમાં $\overrightarrow A \, = \,{A_r}\widehat r\,\, + \,{A_\theta }\hat \theta $, જ્યાં $r\, = \,\frac{{\overrightarrow r \,}}{r}\, = \,\cos \,\theta \widehat {i\,}\, + \,\sin \,\theta \,\widehat j$ અને $\hat \theta = - \sin \,\theta \,\widehat i + \cos \,\theta \,\widehat j\,$ તથા $\widehat r\,$ અને $\widehat \theta $ એ વધતાં મૂલ્યની દિશામાંના એકમ સદિશો છે, તો ......
$(a)$ ${\widehat {i\,}}$ અને ${\widehat {j\,}}$ ને ${\widehat {r\,}}$ અને ${\widehat {\theta }}$ ના સ્વરૂપમાં રજૂ કરો.
$(b)$ દર્શાવો કે $\widehat r$ અને $\widehat \theta $ બંને પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો છે.
(c) દર્શાવો કે
$\frac{d}{{dr}}(\widehat r)\, = \,\omega \hat \theta \,$, જ્યાં $\omega \, = \,\frac{{d\theta }}{{dt}}$ અને $\frac{d}{{dt}}(\widehat \theta )\, = \, - \omega \widehat r\,$.
$(d)$ સ્પાયરલ ગતિ કરતા કણની ગતિ $\overrightarrow r \, = \,a\theta \widehat r$ વડે આપવામાં આવે છે. જ્યાં $a = 1$ તથા $a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર મેળવો.
$(e) $ સ્પાયરલ ગતિ કરતાં કણ માટે વેગ અને પ્રવેગને ધ્રુવીય સદિશોના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.