આપેલ કિરણના પ્રારંભિક બિંદુ પર $45^{\circ}$ નો ખૂણો રચો અને રચનાનું સમર્થન કરો.

(N/A) રચનાના પગલાં:
$(1)$ ધારો કે $AB$ એ આપેલ કિરણ છે જેનું પ્રારંભિક બિંદુ $A$ છે. રેખા $MAB$ બનાવવા માટે $AB$ ને ડાબી બાજુ લંબાવો.
$(2)$ $A$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને કોઈપણ ત્રિજ્યા લઈને,રેખા $MAB$ ને $X$ અને $Y$ બિંદુઓ પર છેદતું એક ચાપ દોરો.
$(3)$ $X$ અને $Y$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $\frac{1}{2} XY$ કરતા વધુ ત્રિજ્યા લઈને,બે ચાપ દોરો જે રેખા $MAB$ ની ઉપર $P$ બિંદુએ છેદે.
$(4)$ $P$ માંથી પસાર થતું કિરણ $AC$ દોરો. આમ,$\angle CAB = 90^{\circ}$ રચાય છે.
$(5)$ $A$ ને કેન્દ્ર ગણીને દોરેલા ચાપ અને કિરણ $AC$ ના છેદબિંદુને $Z$ નામ આપો.
$(6)$ $Y$ અને $Z$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $\frac{1}{2} YZ$ કરતા વધુ ત્રિજ્યા લઈને,બે ચાપ દોરો જે $Q$ બિંદુએ છેદે.
$(7)$ કિરણ $AQ$ દોરો. આમ,$\angle QAB = 45^{\circ}$ એ માંગેલ ખૂણો છે.
સમર્થન:
$PX$ અને $PY$ દોરો. $\Delta PAX$ અને $\Delta PAY$ માં:
$AX = AY$ (એક જ ચાપની ત્રિજ્યાઓ)
$PX = PY$ (એકરૂપ ચાપની ત્રિજ્યાઓ)
$PA = PA$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta PAX \cong \Delta PAY$.
તેથી,$\angle PAX = \angle PAY$ $(CPCT)$.
$\angle PAX + \angle PAY = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા) હોવાથી,$\angle PAY = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$.
આમ,$\angle CAB = 90^{\circ}$.
હવે,$\Delta AYQ$ અને $\Delta AZQ$ લો:
$AY = AZ$ (એક જ ચાપની ત્રિજ્યાઓ)
$YQ = ZQ$ (એકરૂપ ચાપની ત્રિજ્યાઓ)
$AQ = AQ$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AYQ \cong \Delta AZQ$.
તેથી,$\angle QAY = \angle QAZ$ $(CPCT)$.
$\angle QAY + \angle QAZ = \angle ZAY = \angle CAB = 90^{\circ}$ હોવાથી,
$\angle QAY = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$.
આમ,$\angle QAB = 45^{\circ}$.