સમીકરણ int_1^e frac{(log_e x)^{1/2}}{x(a-(log | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$. $t = a - (\log_e x)^{3/2}$ આદેશ લેતા. તેથી $dt = -\frac{3}{2}(\log

Vedclass · Accepted Answer

$C, D$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$. $t = a - (\log_e x)^{3/2}$ આદેશ લેતા. તેથી $dt = -\frac{3}{2}(\log_e x)^{1/2} \cdot \frac{1}{x} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{(\log_e x)^{1/2}}{x} dx = -\frac{2}{3} dt$. જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = a - 0 = a$. જ્યારે $x = e$,ત્યારે $t = a - 1$. સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા: $I = \int_a^{a-1} \frac{-2/3}{t^2} dt = \frac{2}{3} \int_{a-1}^a t^{-2} dt = \frac{2}{3} [-\frac{1}{t}]_{a-1}^a = \frac{2}{3} (\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a}) = \frac{2}{3} (\frac{a - (a-1)}{a(a-1)}) = \frac{2}{3a(a-1)}$. આપેલ છે કે $I = 1$,તેથી $\frac{2}{3a(a-1)} = 1$,એટલે કે $3a^2 - 3a - 2 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{6}$. $\sqrt{33} \approx 5.74$ હોવાથી,$a_1 = \frac{3 + 5.74}{6} \approx 1.45$ અને $a_2 = \frac{3 - 5.74}{6} \approx -0.45$. બંને કિંમતો $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ માં આવે છે. બંને કિંમતો અસંમેય હોવાથી,વિધાન $C$ સાચું છે. બે કિંમતો હોવાથી,વિધાન $D$ સાચું છે.

સમીકરણ $\int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?

Similar Questions

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{1 + \sin 3y}{1 + 2\sin y} \right) dy$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\int_{-2}^2 |[x]| \, dx$ ની કિંમત શોધો.

સાબિત કરો કે $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2 \tan^{3} x \, dx = 1 - \log 2$.

$\int_0^1 \frac{dx}{[ax + b(1 - x)]^2} = $

$\int_0^1 {(1 - x)^9} dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module