એક શ્રેણી ધ્યાનમાં લો જેનો પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = 4n^2 + 6n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n \in N$. આ શ્રેણીનું $15$ મું પદ $(T_{15})$ શોધો.

જો $a, b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોય,તો

બે સંખ્યાઓ વચ્ચેના $A.M., G.M.$ અને $H.M.$ અનુક્રમે $\frac{144}{15}$,$15$ અને $12$ છે,પરંતુ આ ક્રમમાં હોવા જરૂરી નથી. તો $H.M., G.M.$ અને $A.M.$ અનુક્રમે શું થશે?

ધારો કે $a$ અને $b$ એ $x^2 - 3x + p = 0$ ના બીજ છે અને $c$ અને $d$ એ $x^2 - 12x + q = 0$ ના બીજ છે,જ્યાં $a, b, c, d$ એક વધતી જતી સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) બનાવે છે. તો $(q + p) : (q - p)$ નો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

કેટલાક સમાન દડાઓને હારમાં ગોઠવીને એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે. પ્રથમ હારમાં એક દડો,બીજી હારમાં બે દડા અને આ રીતે આગળ વધે છે. જો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવવામાં વપરાયેલા કુલ દડાઓની સંખ્યામાં $99$ વધુ સમાન દડા ઉમેરવામાં આવે,તો આ તમામ દડાઓને એક ચોરસમાં ગોઠવી શકાય છે,જેની દરેક બાજુમાં ત્રિકોણની દરેક બાજુમાં રહેલા દડાઓની સંખ્યા કરતા બરાબર $2$ દડા ઓછા હોય છે. તો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવવા માટે વપરાયેલા દડાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

પદાવલિ $3(1!) - 4(2!) + 5(3!) - 6(4!) + \dots - 2008(2006)! + (2007)!$ ની કિંમત શોધો.