ન્યૂટ્રિનો પરિકલ્પના પહેલાં $\beta $ -ક્ષયની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ થતી હોવાનું માનવામાં આવતું હતું. $n \to p + {e^ - }$ જો ઉપરોક્ત માન્યતા સાચી હોય તો દર્શાવો કે $\beta -$ ક્ષય પહેલાં જો ન્યૂટ્રોન સ્થિર હોય તો પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોન નિશ્ચિત મૂલ્યની ઊર્જાઑ ધારણ કરીને બહિર્ગમન પામશે. આ નિશ્ચિત મૂલ્યો ગણતરી કરીને શોધો. (હકીકતમાં પ્રાયોગિક રીતે ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા, ઘણા મોટા વિસ્તાર પર બદલાતી માલૂમ પડે છે.). $({m_n}{c^2} = 938\,MeV,{m_p}{c^2} = 936\,MeV,{m_e}{c^2} = 0.51\,MeV)$

આઈનસ્ટાઈનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદ અનુસાર, કણની ઊર્જા

$E =\sqrt{p^{2} c^{2}+m_{0}^{2} c^{4}}\dots(1)$

જ્યાં $p=$ કણનું વેગમાન

$c=$ પ્રકાશની શૂન્યવકાશમાં ઝડ૫

$m_{0}=$ કણનું સ્થિર દળ

વેગમાન સંરક્ષણના નિયમાનુસાર આપેલ પ્રક્રિયા $n \rightarrow p+\bar{e}$ માટે,

$\overrightarrow{p_{n}}=\overrightarrow{p_{p}}+\overrightarrow{p_{e}}$

$\therefore \overrightarrow{0}=\overrightarrow{p_{p}}+\overrightarrow{p_{e}}$ $(\because$ન્યૂટ્રોન સ્થિર છે)

$\therefore \overrightarrow{p_{p}}=-\overrightarrow{p_{e}}$

બંને બાજુએ માનાંક લેતાં, $p_{p}=p_{e}=p$ (ધારો કે) $... (2)$

સમીકરણ $(1)$ પરથી ન્યૂટ્રોનની ઊર્જા,

$E _{n}=\sqrt{p_{n}^{2} c^{2}+m_{n}^{2} c^{4}}$

$\therefore E _{n} =m_{n} c^{2} \quad\left(\because p_{n}=0\right)$

સમીકરણ $(1)$ પરથી પ્રોટોનની ઊર્જા,

$E _{p}=\sqrt{p_{p}^{2} c^{2}+m_{p}^{2} c^{4}}$

$E _{p}=\left(p^{2} c^{2}+m_{p}^{2} c^{4}\right)^{1 / 2} \quad\left(\because p_{p}=p\right)$

સમીકરણ $(1)$ પરથી ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા,

$E _{e}=\sqrt{p_{e}^{2} c^{2}+m_{e}^{2} c^{4}}$

$\therefore E _{e}=\left(p^{2} c^{2}+m_{e}^{2} c^{4}\right)^{1 / 2} \quad\left(\because p_{e}=p\right) \quad \ldots$ (5)