વિધાન (A): int_0^{frac{pi}{2}} (sin^6 x + cos | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\pi/2} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$.નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x +

Vedclass · Accepted Answer

$A$ અને $R$ બંને સાચા છે પરંતુ $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_0^{\pi/2} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$.નિત્યસમ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = 1 \cdot ((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3 \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4} \sin^2(2x)$.$x \in [0, \pi/2]$ માટે,$0 \leq \sin^2(2x) \leq 1$,તેથી $1 - \frac{3}{4} \leq 1 - \frac{3}{4} \sin^2(2x) \leq 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{4} \leq \sin^6 x + \cos^6 x \leq 1$.$[0, \pi/2]$ પર સંકલન કરતા,આપણને $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{4} dx કારણ $(R)$ માટે,$f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$. તો $f(x + \pi/2) = \sin^6(x + \pi/2) + \cos^6(x + \pi/2) = \cos^6 x + \sin^6 x = f(x)$. આમ,આવર્તમાન $\pi/2$ છે. કારણ $(R)$ સાચું છે.જોકે,વિધેયનું આવર્તમાન એ સંકલન આપેલા અંતરાલમાં હોવાનું કારણ નથી. તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

Similar Questions

એક સતત અને વિકલનીય વિધેય $f$ એ શરત $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ ને તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સંતોષે છે. તો:

જો $\int_{0}^{\pi} (\sin^{3} x) e^{-\sin^{2} x} dx = \alpha - \frac{\beta}{e} \int_{0}^{1} \sqrt{t} e^{t} dt$ હોય,તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત $....$ થાય.

ધારો કે $f(\theta) = \sin \theta + \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} (\sin \theta + t \cos \theta) f(t) dt$. તો $\left| \int_{0}^{\pi / 2} f(\theta) d\theta \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $f(x) = \text{Max}\{\sin x, \cos x\}$ અને $g(x) = \text{Min}\{\sin x, \cos x\}$ હોય,તો $\int_{0}^{\pi} f(x) dx + \int_{0}^{\pi} g(x) dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module