ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળ સ્પર્શકો દોરવાથી બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પર,ધારો કે $P$ એ બીજા ચરણમાં આવેલું એક બિંદુ છે જેથી $P$ આગળનો સ્પર્શક રેખા $x+2y=0$ ને લંબ છે. ધારો કે $S$ અને $S'$ એ ઉપવલયના નાભિઓ છે અને $e$ તેની ઉત્કેન્દ્રતા છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $SPS'$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $(5-e^{2}) \cdot A$ નું મૂલ્ય શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ને લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

$16x^2 + 25y^2 = 400$ ના નાભિઓ (foci) શોધો.

ધારો કે $E$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ છે. $E$ પરના કોઈપણ ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓ $P, Q$ અને $Q^{\prime}$ માટે,ધારો કે $M(P, Q)$ એ $P$ અને $Q$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે,અને $M(P, Q^{\prime})$ એ $P$ અને $Q^{\prime}$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે. તો જેમ $P, Q$ અને $Q^{\prime}$ એ $E$ પર બદલાય છે,તેમ $M(P, Q)$ અને $M(P, Q^{\prime})$ વચ્ચેના અંતરનું મહત્તમ શક્ય મૂલ્ય કેટલું થાય?

ધારો કે $A$ એ ઉપવલય $S \equiv \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}-1=0$ નું શિરોબિંદુ છે અને $F$ એ ઉપવલય $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}-1=0$ ની નાભિ છે. ધારો કે $P$ એ ઉપવલય $S^{\prime}=0$ ની મુખ્ય અક્ષ પરનું બિંદુ છે,જે $\overline{OF}$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે ($O$ એ ઉગમબિંદુ છે). જો ઉપવલય $S=0$ ની $A$ અને $P$ માંથી પસાર થતી જીવાની લંબાઈ $\frac{3\sqrt{101}}{k}$ હોય,તો $k=$